Плоскость расчерчена параллельными прямыми. Расстояние между любыми двумя соседними прямыми равно 1. На плоскость падает иголка фиксированной длины l (l ≤ 1).

Найдите вероятность, с которой иголка пересечёт хотя бы одну из прямых (то есть имеет общие точки хотя бы с одной из прямых).
Считаем, что иголка не имеет толщины (представляет собой просто отрезок) и что она падает и лежит на плоскости плашмя, а не втыкается в неё.

Подсказка 1

Что понимается под вероятностью некоторого события?

1. Сначала договоримся, что мы будем понимать под событием . Пусть мы проводим серию одинаковых опытов - испытаний, в каждом из которых одни и те же начальные условия и результат очередного испытания никак не зависит результатов предыдущих. Хрестоматийные примеры: подбрасывание «идеальной» монетки, бросание «идеального» игрального кубика. Или, как у нас в задаче, - бросание иголки на разлинованную плоскость.

У каждого испытания есть разные элементарные исходы . Например, выпадение числа от 1 до 6 в примере с кубиком. Событием называется какое-то подмножество множества элементарных исходов. Например, «выпадение 2». Или «выпадение нечётного числа» (то есть выпадение 1, 3 или 5). Можно рассматривать более сложные испытания, вроде подбрасывания пяти монеток. Здесь элементарными исходами будут такие: «выпало пять орлов», «выпало четыре орла и одна решка», и так далее. В качестве события можно рассмотреть, например, такое: «выпало не меньше трёх орлов».

В нашей задаче испытание - это одно бросание иголки, а нужное нам событие - это пересечение хотя бы одной линии.

2. Под вероятностью события можно понимать отношение числа благоприятных для этого события исходов к числу всех возможных исходов (отсюда получается, что вероятность - это всегда число от 0 до 1). Например, вероятность события «выпадение нечётного числа» при бросании одного кубика равна 1/2, потому что подходит ровно половина от всех возможных исходов. Вероятность события «выпало не меньше трёх орлов» при бросании 5 монеток также равна 1/2.

Такое определение вероятности отлично работает, когда множество возможных исходов конечно. Но в нашей задаче бесконечно много исходов - положений упавшей иголки. Да и подходящих исходов тоже бесконечно много. Как же быть? Немного подкорректируем наше «определение»: вероятность события - это доля, которую благоприятные исходы «занимают» во множестве всех исходов. С таким «определением» уже можно посчитать требуемую в задаче вероятность.

Честно говоря, всё сказанное выше является «объяснением на пальцах», и это нельзя рассматривать со всей математической строгостью. Но для наших целей такого подхода вполне достаточно.

3. Для ясности еще один пример. Рассмотрим квадрат, и соединим в нём середины двух соседних сторон отрезком, отсекая таким образом уголок. После этого будем случайным образом тыкать иголкой в квадрат. С какой вероятностью мы попадём внутрь уголка? Здесь исход каждого испытания - то, куда попал конец иголки, то есть одна точка внутри квадрата. Ясно, что исходов бесконечно много и что подходящих нашему событию исходов - попаданию в уголок - тоже бесконечно много. Поэтому про количества исходов для вычисления вероятности рассуждать уже бессмысленно. На зато долю вычислить можно - это просто отношение площадей уголка и квадрата. Оно равно 1/8. Заметим, что границы фигур имеют нулевую площадь, поэтому про них можно не думать. В частности, в отрезок, который отсекал уголок, иголка попадёт с вероятностью 0.

Подсказка 2

Последний пример из первой подсказки может дать намёк на возможный путь решения задачи. Нужно ввести параметры, которые бы определяли положение иголки и позволяли бы описать все случаи, когда она пересекает линии. Двух параметров здесь вполне достаточно. После этого нужно понять, какие вообще значения могут принимать эти параметры и какие значения описывают наше событие. Если выбрать параметры удачно, то эти условия будут довольно простыми и их можно будет даже «изобразить»: взять координатную плоскость, у которой оси соответствуют параметрам, и нарисовать область, точки которой удовлетворяют полученным условиям. После этого останется лишь посчитать площадь всей области и площадь той её части, которая соответствует пересечению иголки и линий. А затем найти отношение этих площадей.

Решение

Условимся, что прямые из условия идут горизонтально. Вот мы бросили иголку на плоскость. Как описать её расположение, чтобы было удобно учитывать пересечение с прямыми? Заметим своеобразную симметрию: нам не так уж и важно, на какую именно (или какие, если их две) полосу между прямыми упадёт иголка - полоски все одинаковые. Также ясно, что сдвиги по горизонтали тоже ни на что не влияют. А вот что действительно важно - это как «далеко» иголка лежит от прямых и под каким углом она к ним наклонена. Поэтому в качестве параметров из второй подсказки можно взять угол наклона α иголки к прямым и расстояние d от середины иголки до ближайшей прямой (рис. 1). Таким образом мы используем ещё одну возникшую в задаче «симметрию».

Какие значения могут принимать эти параметры? Радианная мера угла α меняется от 0 до π, а d принимает значения от 0 (если середина иголки попала на прямую) до 1/2 (дальше середина иголки от прямых быть не может). На плоскости с координатами (α, d ) эти ограничения задают прямоугольник (рис. 2).

Из рисунка 3 видно, при каком условии на α и d иголка пересекает хотя бы одну прямую: проекция половины иголки на направление, перпендикулярное прямым, должна быть больше d . То есть должно выполняться неравенство .

Вот мы и получили описание всех случаев, когда иголка пересекает хотя бы одну прямую (пересечение с двумя прямыми будет, только если одновременно выполнены равенства α = π/2 и d = 1/2, что может дать всего одну точку в нашем прямоугольнике - бесконечном множестве всех возможных значений пары параметров). Осталось вычислить площадь под графиком синусоиды и разделить её на площадь всего прямоугольника, которая равна π/2 (рис. 4).

Как известно, площадь под графиком функции равна определённому интегралу от этой функции на нужном промежутке: .

В итоге получаем, что искомая вероятность равна .

Послесловие

Считается, что эту задачу впервые поставил и довольно обстоятельно исследовал французский учёный XVIII века граф де Бюффон - довольно неординарный человек с очень широким кругом интересов, сделавший немало полезного в разных областях знаний. Поэтому часто её называют задачей об игле Бюффона. По-видимому, это была первая задача на так называемую геометрическую вероятность. Как мы видели, суть такого подхода заключается в том, чтобы представить множество элементарных исходов какого-нибудь испытания в виде геометрической фигуры и свести вопрос о нахождении вероятности того или иного события к вычислению отношения площадей подходящих фигур. Таким способом можно решить еще несколько довольно известных задач - возможно, с некоторыми из них вы познакомитесь позже здесь, на «Элементах». Поэтому приведём в качестве упражнения лишь еще одну несложную задачу:

С какой вероятностью круглая монетка диаметра d, брошенная на клетчатую плоскость (разбитую на единичные квадратики), не покроет ни одну из линий сетки, то есть целиком окажется внутри какого-нибудь из квадратов?

Отметим, что, решая задачу Бюффона, можно рассуждать и немного иначе. Подробно ход такого решения описан (правда, на английском) .

Теперь немного от том, в чём состоит смысл полученного нами ответа. При l = 1 ответ приблизительно равен 0,6366197... Что именно представляет это число? Как обычно, в теории вероятностей понимать это нужно следующим образом. Допустим, мы проделали очень длительную серию испытаний. Скажем, нам хватило терпения в каждом испытании бросать иголку миллион раз и запоминать, сколько раз она пересекла прямые линии на плоскости. И таких испытаний мы провели тоже миллион. Окажется, что в большинстве из них (скорее всего, подавляющем) число пересечений близко к 636 619. И чем больше мы будем проводить таких испытаний, тем ближе будет доля успешных исходов (когда иголка пересекла линию) к . И на самом деле, конечно, тут совершенно не важно, как подразделять испытания на серии - важно лишь общее количество. В реальности проводить такие длительные серии испытаний терпения не хватит. Но можно написать программу (или воспользоваться уже существующими типа этой), которая бы выполняла рутинные операции и выдавала только количество пересечений для большого числа бросков.

Сказанное в предыдущем абзаце даёт необычный подход к важной задаче точного вычисления числа π = 3,1415926... Напомним, что это число определяется как отношение длины окружности к её диаметру (для всех окружностей это отношение одинаково). Число π - одна из основных констант в математике и физике. Отчасти это можно пояснить тем, что окружности и эллипсы возникают в математике и физике в самых разных задачах и моделях - от чисто геометрических до практических вроде расчётов орбит планет и спутников. Поэтому важно уметь достаточно точно вычислять значение числа π. Известно, что это число иррациональное, то есть его нельзя представить в виде рациональной дроби (отношения двух целых чисел), но есть близкие к нему дроби с небольшими знаменателями. Еще Архимеду было известно, что дробь 22/7 = 3,(142 857) приближает π с точностью до тысячных. Примерно в V веке н. э. уже было известно приближение 355/113 = 3,14159292... - погрешность меньше одной миллионной.

При чём же здесь игла Бюффона? Как мы уже понимаем, в длительной серии испытаний доля пересечений от общего числа бросков иголки будет примерно равна 2/π. Поэтому мы можем эмпирически найти эту долю и вычислить приблизительное значение . Чем больше бросков, тем точнее будет доля, а значит, и значение π. В XIX веке находились герои, готовые потратить несколько вечеров на такое занятие. У них получались разные значения около 3,14. Подробнее можно прочитать на этой странице в английской Википедии.

Сейчас, конечно, никто иголку не бросает, а число π вычислено уже далеко за 10 триллионов знаков. Забавно, что такая точность и близко не нужна для практических вычислений - по оценкам, достаточно знать π примерно до 40-го знака после запятой, чтобы точно рассчитать объём видимой Вселенной с точностью до одного атома. Так что вычисление π с такой точностью - это, скорее, гонка за рекордами и соревнование суперкомпьютеров.

Точные вычисления основаны на разных формулах. В основном, используются сходящиеся к π последовательности и суммирование рядов, много алгоритмов можно найти в Википедии . Здесь приведём лишь замечательную формулу

которая позволяет вычислить любую цифру числа π, не вычисляя остальные цифры.

БЮФФОНА ЗАДАЧА

об игле - классическая задача теории геометрических вероятностей, по праву считающаяся исходным пунктом развития этой теории. Впервые была отмечена Ж. Бюффоном в 1733 и воспроизведена вместе с решением в . Ж. Бюффон рассматривал следующую ситуацию: на , разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии а, наудачу бросается игла длиною . Какова того, что игла пересечет одну из проведенных параллелей? Очевидно, что положение иглы определяется расстоянием хот ее центра до ближайшей прямой линии и острым углом , составленным иглой с перпендикуляром к этой линии. Величина хлежит между нулем и - между нулем и . Предполагается, что точка распределена равномерно в соответствующем прямоугольнике (это равносильно тому, что случайные величины хи независимы и равномерно распределены на и ). Тогда искомая вероятность определяется как площадей, соответствующих благоприятствующим и всем возможным исходам, и равна

В свое время Б. з. послужила основой для экспериментальной проверки Бернулли теоремы. Действительно, если игла бросается праз и в тслучаях игла пересекает одну из линий, то частота при больших ппо теореме Бернулли должна быть близка к вероятности (*). Это соображение было использовано многими исследователями для определения числа я методом случайных испытаний (см. , ). Ж. Бюффон рассматривал и другие сходные задачи, в частности задачу о вероятности пересечения иглой линий, принадлежащих двум взаимно перпендикулярным системам, к-рые разбивают плоскость на прямоугольники со сторонами аи Ь, соответственно. Ответ Ж. Бюффона к этой задаче неверен. Правильный ответ:

был указан П. Лапласом (РLaplace) в 1812.

Лит. : Buffon G., Essai d"arithmetique morale. Supplement a "1"Histoire Naturelle", v. 4 1777; Usреnskу J. V., Introduction to mathematical Probability, N. Y.- L., 1937; Кендалл М., Моран П., Геометрические вероятности, пер. с англ., М., 1972. А. В. Прохоров.

BАЛЛЕ ПУССЕНА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ - один из методов суммирования числовых рядов; обозначается символом (VP ). Числовой

суммируется методом Балле Пуссена к числу S, если выполняется соотношение

Метод предложен Ш. Балле Пуссеном . Для ряда Фурье функции средние Балле Пуссена (см. также Балле Пуссена сингулярный. интеграл ).имеют

Так наз. Балле Пуссена. В. П. м. с. является регулярным методом суммирования. Этот метод сильнее всей совокупности Чезаро методов суммирования (см. Включение методов суммирования ). Ввиду слабых аппроксимативных свойств В. Г1. м. с. практически не имеет применения в теории приближения функций.

Лит. : La Vа11eе Роussin C h. J., "Bull. Acad. de Belgique", 1908, t. 3; Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951: Grоnwаll Т., "J. reine und angew. Math.", 1917, Bd 147, S. 16-35. А. А. Захаров.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "БЮФФОНА ЗАДАЧА" в других словарях:

1. Понятие стиля. С. исторически обусловленное эстетическое единство содержания и многообразных сторон художественной формы, раскрывающее содержание произведения. С. возникает как результат «художественного освоения» определенных сторон социально … Литературная энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Монте Карло (значения). Метод Монте Карло (методы Монте Карло, ММК) общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного)… … Википедия

- (от Био... и...Логия совокупность наук о живой природе. Предмет изучения Б. все проявления жизни: строение и функции живых существ и их природных сообществ, их распространение, происхождение и развитие, связи друг с другом и с неживой… …

Раздел математики, в котором изучаются некоторые специальные числовые характеристики («меры») для множеств точек, прямых, плоскостей и др. геометрических объектов, вычисляемые, как правило, с помощью интегрирования. При этом «мера» должна … Большая советская энциклопедия

СРАВНИТЕЛЬНАЯ АНАТОМИЯ - занимается сравнительным изучением органов животных и 43S устанавливает их морфол. сходство, основанное на общности их происхождения (гомологии). Таким образом С. а. дает возможность установить исторический характер (филогению) родственных связей … Большая медицинская энциклопедия

- (от греч. óikos жилище, местопребывание и...Логия) биологическая наука, изучающая организацию и функционирование надорганизменных систем различных уровней: популяций, видов, биоценозов (сообществ), экосистем, биогеоценозов и биосферы.… … Большая советская энциклопедия

Знаменитый английский математик и физик (1643 1727). Родился в деревне Вульсторп, близ г. Грантана в Линкольншире, через несколько месяцев после смерти своего отца. Появившись на свет раньше срока, он был очень слаб и в начале подавал мало надежд …

Закон Ньютона всемирного Т. может быть формулирован следующим образом: каждый атом взаимодействует с каждым другим атомом, при этом сила взаимодействия (притяжения) всегда направлена по прямой линии, соединяющей атомы, и величина ее изменяется… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

- (Diderot) Дени (1713 1784) французский философ и идеолог Просвещения, писатель, теоретик искусства, глава энциклопедистов. Основные сочинения: вольный авторский перевод и комментарий работы А.Э.К. Шефтсбери ‘Исследование о достоинстве и… … История Философии: Энциклопедия

- (Diderot) Дени (1713 1784) французский философ и идеолог Просвещения, писатель, теоретик искусства, глава энциклопедистов. Основные сочинения: вольный авторский перевод и комментарий работы А.Э.К. Шефтсбери «Исследование о достоинстве и… … Новейший философский словарь

Этот пост поможет вам выкрутиться из довольно-таки щекотливой ситуации. Скажем, вы заперты в комнате, у вас есть моток ниток и иголка, и от вас настойчиво требуют посчитать приблизительное значение числа Пи , используя лишь эти предметы, ну, всякое бывает, знаете. Так вот, сегодня слушая на курсере курс по матану Пенсильванского университета , я вдруг узнал, как это сделать. Вот чего я и предположить не мог, так это того, что число Пи скрывается и тут. Оказалось, что корни этого вопроса уходят аж в 18 век, когда Жорж-Луи Леклерк де Бюффон поставил себе следующую задачу : «предположим, пол сделан из деревянных полосок двух цветов, они чередуются; какова вероятность того, что брошенная иголка упадет так, что будет пересекать линию состыковки двух полосок?» Симуляцию этого процесса и ответ на вопрос можно найти под катом.

Симуляция

Чтобы не портить интригу, начнем, пожалуй, с эксперимента. Итак, у нас имеется множество иголок длины L и моток ниток зеленого цвета. Нанесем на поверхность некоторое количество параллельных отрезков одинаковой длины на расстоянии L друг от друга.

Кинем на это поле 100 иголок.

Пожалуй, мало. Добавим еще 900 и отметим те иголки, которые пересекают нити, красным цветом.

Предположим, мы кидали не все иголки разом, а по одной, и записывали на каждом шаге отношение количества иголок, попавших на нити, к общему количеству брошенных иголок, тем самым получая все большее и большее приближение вероятности того, что иголка, падая, пересечет нить.

Если бросить 10000 иголок, то картина будет более точной.

А теперь сделаем следующее преобразование: разделим двойку на каждое число полученного ряда.

Для 10000 иголок уже точнее.

Если найти среднее из последних пяти тысяч членов ряда мы получим 3.141685 , в то время как число пи равно 3.141593 .

В общем, ни для кого уже не секрет, что последний ряд сходится к числу Пи . Но как такое могло произойти? Я узнал об этом на 28 году жизни из вышеупомянутого курса. Окунемся в матан.

Теория

Будем рассматривать иголку и ближайшую от нее линию справа. Расстояние от левого конца иглы обозначим h , угол отклонения от линии - a .

Очевидно, что длина противоположного катета от угла а будет равна синусу угла, умноженного на длину гипотенузы. Тогда мы можем утверждать, что если h меньше либо равна катету напротив угла а , то игла пересекает нить. Изобразим график:

Если мы посчитаем для каждой брошенной иголки h и a и отметим эти точки на предыдущем графике, то картина будет следующая:

Таким образом, вероятность того, что иголка пересечет нить, будет равна отношению площади фигуры под графиком к площади прямоугольника, то есть Пи , умноженное на длину иголки.

Отсюда и получается искомая аппроксимация числа Пи , что и показал опыт в первой части.

Ме́тод Мо́нте-Ка́рло (методы Монте-Карло, ММК) - общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в различных областях физики, химии, математики, экономики, оптимизации, теории управления и др.

История

Алгоритм Бюффона для определения числа Пи

Случайные величины использовались для решения различных прикладных задач достаточно давно. Примером может служить способ определения числа Пи, который был предложен Бюффоном еще в 1777 году. Суть метода была в бросании иглы длиной L на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянииr друг от друга (см. Рис. 1).

Рисунок 1. Метод Бюффона

Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что r >L ) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:

, где

A - расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;

θ - угол иглы относительно прямых.

Этот интеграл просто взять: (при условии, чтоr >L ), поэтому подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить это число. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы. Результаты представлены в следующей таблице:

	Число бросаний	Число пересечений	Длина иглы	Расстояние между прямыми	Вращение	Значение Пи
Первая попытка					отсутствует
Вторая попытка					присутствует
Третья попытка					присутствует

Комментарии:

Вращение плоскости применялось (и как показывают результаты - успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.

В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.

Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений

Создание математического аппарата стохастических методов началось в конце XIX века. В 1899 году лорд Релей показал, что одномерное случайное блуждание на бесконечной решётке может давать приближенное решение параболического дифференциального уравнения. Андрей Колмогоров в 1931 году дал большой толчок развитию стохастических подходов к решению различных математических задач, поскольку он сумел доказать, что цепи Марковасвязаны с некоторымиинтегро-дифференциальными уравнениями. В1933 годуИван Петровскийпоказал, чтослучайное блуждание, образующееМарковскую цепь, асимптотически связано с решениемэллиптического дифференциального уравнениявчастных производных. После этих открытий стало понятно, что стохастические процессы можно описывать дифференциальными уравнениями и, соответственно, исследовать при помощи хорошо на тот момент разработанных математических методов решения этих уравнений.

Рождение метода Монте-Карло в Лос-Аламосе

Сначала Энрико Фермив1930-хгодах в Италии, а затемДжон фон НейманиСтанислав Уламв1940-хвЛос-Аламосепредположили, что можно использовать связь между стохастическими процессами идифференциальными уравнениями«в обратную сторону». Они предложили использовать стохастический подход дляаппроксимациимногомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона визотропнойсреде.

Идея была развита Уламом, который, по иронии судьбы, также как и Фокс боролся с вынужденным бездельем во время выздоровления после болезни, и, раскладывая пасьянсы, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс «сложится». Ему в голову пришла идея, что вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображениякомбинаторики, можно просто поставить «эксперимент» большое число раз и, таким образом, подсчитав число удачных исходов, оценить их вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло.

Появление первых электронных компьютеров, которые могли с большой скоростью генерироватьпсевдослучайные числа, резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью.

Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название метода происходит от названия города в княжествеМонако, широко известного своими многочисленнымиказино, поскольку именно рулетка является одним из самых широко известныхгенераторов случайных чисел. Станислав Улам пишет в своей автобиографии «Приключения математика», что название было предложеноНиколасом Метрополисомв честь его дяди, который был азартным игроком.